www.matematikk.org

Varmetap for en vanntank

Spørsmål:

Ragnhild, 23

Hei, fantastisk side hvor jeg til nå har fått nytte av mange av andres spørsmål til dere :)

Here it comes: 3 m3 sylinderformet tank skal lages for lagring av vann, og skal stå vertikalt. Varmetapet per m2 fra sideflatene og toppflaten er dobbelt så stor som varmetapet per m2 fra bunnen. Hvor stor må sylinderens radius være for at varmetapet skal være minst mulig? Tusen, tusen takk for hjelp!

Svar:

Hei, Ragnhild!

Volumet til en sylinder er hπr2. Volumet av denne sylinderen skal være 3 (m3, men vi regner enhetsløst og setter heller på enheten til slutt). Dermed kan høyden skrives som

h=3πr2.

Varmetapfunksjonen kan skrives som summen av varmetapet gjennom bunnen, pluss varmetapet gjennom toppen (som er dobbelt av det gjennom bunnen), pluss varmetapet gjennom siden (som har areal homkrets, og dette arealet må også ganges med 2). Merk at vi ikke vet hvor stort varmetapet er, men det er forholdet mellom de forskjellige leddene som betyr noe, og da kan vi regne ut fra arealberegningene. Vi får

 V=πr2+2πr2+2h2πr.

 V=3πr2+4πrh=3πr2+4πr3πr2=3πr2+12r.

For å finne minimumspunktet til funksjonen, må vi først derivere den med hensyn på r. Vi får

 ddrV=6πr12r2.

Vi setter den deriverte funksjonen lik 0, og løser for r:

 6πr12r2=0 

 6πr312=0 

 r3=2π 

 r=2π30,86 

så den optimale radien er 0,86 m.

Vennlig hilsen,
Oraklet

Publisert: 31.10.2011