www.matematikk.org

Periferivinkelsetningen

Spørsmål:

Esten, 29

Periferivinkelsetningen sier at hvis sentralvinkelen ligger inne i periferivinkelen, så er den dobbelt så stor som periferivinkelen. Men hvis den ikke gjør det, finnes det en sammenheng da? Som f.eks. om sentralvinkelen ligger i midten av sirkelen og periferivinkelen ligger på sirkelens kant. Hvordan blir sammenhengen mellom sentralvinkel og periferivinkel da?

Svar:

Hei, Esten!

Teoremet holder også når sentralvinkelen ikke ligger inne i periferivinkelen. Det er litt teknisk å bevise, men med tunga rett i munnen lar det seg fint gjøre:

 

 

La S være det punktet på sirkelen som er slik at S, O og Q er på linje.

Generelt har vi at enten er P inne i vinkelen RQS, eller så er R inne i vinkelen PQS. Anta det første. (Hvis ikke kunne vi bare endret navn på punktene.)

Ved summasjon av vinkler, er daPQR=RQSPQS.

Nå er vi i en situasjon der vi har at RQS er en periferivinkel, og ROS er den tilhørende sentralvinklen, og for denne situasjonen gjelder teoremet slik du kjenner det fra før, nemlig at
ROS=2RQS=2(PQR+PQS). Samtidig er joROS=ROP+POS. Vi har atPOS=2PQS, så ved å kombinere de to likhetene, og trekke fra den siste, sitter vi igjen med atPOR=2PQR, slik vi ønsket.

Vennlig hilsen,
Oraklet

Publisert: 19.01.2011