www.matematikk.org

Diagonalen til en sekskant

Spørsmål:

Jan Cato Skjortnes, 17

Kva er diagonalen på en 6-kant på 15m2

Svar:

Hei, Jan Cato Skjortnes!

Jeg antar du mener regulære 6-kanter. I slike sekskanter er alle sider og vinkler like store. Det er kun for slike trekanter en kan lage generelle regler.

Vi ser at hvis vi tegner inn alle diagonalene i en regulær 6-kant, får vi seks likesidede trekanter.

Vi ser også at diagonalene er dobbelt så lang som sidene i trekantene.

Arealet av en sekskant er 6 da ganger arealet av den likesidede trekanten.

Vi kan dermed finne lengden av sidekantene fra arealet av den likesidede trekant. Vi kan deretter finne diagonalen ved å gange lengden på sidekanten med to.

Vi vet at arealet av hele sekskanten er 15m2, og arealet av hver av de likesidede trekantene er dermed:

 15m26=2,5m2 

Vi vet videre at arealet av en likesidet trekant ergrunnlinjehøyde2

Grunnlinja i denne trekanten er sidekanten i sekskanten. Vi kaller lengden av sidekanten for x.

Hvis vi tegner inn høyden i en av de likesidede trekantene, ser vi at denne deler trekanten i to like trekanter, hver med en 30o vinkel, en 60o vinkel og en 90o vinkel.

Obligatorisk!s

Når vi har rettvinklede trekanter (altså en trekant der en av vinklene er 90o), kan vi benytte de trigonometriske identitetene sinus, cosinus og tangens, for å finne sidekanter i trekanten.

Hvis vi tar utgangspunkt i en 60o vinkel (A på figuren), vil den motstående kateten fra denne være høyden, h, i trekanten (lengden DC på figuren). Hypotenusen vil være en sidekant i den likesidede trekant (AC på figuren). Vi kaller lengden av sidekanten for x.

Definisjonen på sinus er:

 sinv=motståendekatethypotenus 

Vi setter inn for tall og symboler, og får:

 sin60=hx 

Omformet som ett uttryk for h, har vi:

 h=xsin60 

 

Ved å sette inn for grunnlinje = x, og høyde = xsin 60, kan vi da skrive et uttrykk for arealet av den likesidete trekant. Arealet vet vi skulle være 2,5m2, og vi kan da skrive:

Arealet av likesidet trekant =grunnlinjehøyde2

=>2,5m2=xxsin602 

Vi trekker sammen høyre side:

 2,5m2=34x2 

Vi deler på34 på begge sider:

 1033m2=x2 

Eller:

 x2=5,77m2 

Tar vi roten på begge sider, får vi da:

 x=2,4m 

Som vil være lengden på sidekantene.

 

Diagonalen er da to ganger denne lengden.

Vi finner at diagonalen er 4,8 m.

Vennlig hilsen,
Oraklet

Publisert: 03.12.2010