www.matematikk.org

Romfigurer

For todimensjonale geometriske figurer som sirkler, trekanter og firkanter var vi interessert i å kunne beregne arealer og omkretser. For romfigurer er det overflatearealer og volumer det er aktuelt å finne ut av.

Å beregne overflatearealer gjøres ved direkte anvendelser av de resultatene vi har om arealer for plane figurer. Vi deler ofte opp overflaten av romfiguren i to eller flere plane figurer.
 
Når det gjelder volum, må vi igjen gå ut fra definisjonen av begrepet volum, og så prøve å bryte problemet ned til delfigurer som vi kjenner.
 
 

Terning

 

En terning består av seks kvadratiske sideflater. Sett sidelengden lik s.

En prisme med sidelengden s  
 
Overflatearealet blir summen av arealene til de seks kvadratiske sideflatene som hver har areal s2. Og terningens overflateareal er A = 6s2.
 
At sidelengden er s betyr at det er plass til s volumenheter langs hver kant. Da innser vi at i hele terningen blir det plass til sss=s3 enhetsterninger i alt. Volumet av terningen er altså V = s3.
 
Resultat:
A=6s2               
V=s3 
 


Rett prisme

En rett prisme med bredde b, lengde l og høyde h.  

Et rett prisme med rektangulær grunnflate (en kuboide) består av seks sideflater, som alle er rektangler og parvis like store. Prismet kan dermed beskrives ved tre størrelser: lengden l, bredden b og høyden h.
 
Overflatearealet er summen av arealene til de seks rektanglene:
 
A=lb+lb+bh+bh+lh+lh=2(lb+bh+lh)           
 
Volumet av prismet får vi, ved å resonnere nøyaktig som for terningen, ved å multiplisere lengde, bredde og høyde:
 
V=lbh           
 
Siden vi kjenner til at grunnflaten har et areal G = lb, kan vi også ta med denne formelen for volumet av et rett prisme:
 
V=Gh
 
Vi bare noterer som en kjensgjerning, uten å gå inn på et resonnement for dette, at også for prismer med andre grunnflater enn rektangler og for skjeve prismer kan vi regne ut volumet på samme måte: grunnflate ganger høyde.
 
 

Sylinder

 
En sylinder har en sirkelformet grunnflate, en krum sideflate og en sirkelformet toppflate, som er kongruent med grunnflaten.
 
En grønn sylinder
 
 

Overflatearealet til en sylinder

 
Bunn og topp er sirkler. Sett radien lik r. Sylinderens høyde setter vi lik h.

Sylinder med radius r og høyde h
 

Da har vi med en gang areal av bunn pluss topp:

For å finne arealet av den krumme sideflaten tenker vi at vi bretter denne ut. Da blir den et rektangel. 

Hvis vi "tar sylinderen fra hverandre - bretter den ut" vil vi få to sirkler (toppen og bunnen) og et rektangel.

Høyden i rektangelet er den samme som høyden i sylinderen. Og lengden må være lik omkretsen til sirkelen, 2πr. Dermed er arealet 2πrh=2πrh.

Nå kjenner vi arealet av bunnen, toppen og sideflaten (Arealet av sirkler kan vi regne ut fra før). Da gjenstår bare å legge sammen:
 
A=2πr2+2πrh
 
Hvis vi vil kan vi faktorisere dette uttrykket. 2πr er felles faktor i begge leddene, og vi kan sette dette utenfor en parentes:
 
A=2πr2+2πrh=2πr(r+h)
 

Volumet av en sylinder

 
Sylinder med radien r og høyde h

Volumet V regnes ut ved å multiplisere arealet av grunnflaten med høyden i sylinderen:
 
V=Gh=πr2h          
 
At dette er riktig, kan vi innse ved at vi tenker oss sylinderen omgitt av og fylt opp med mangekantede prismer som ligger tett inntil sylinderen henholdsvis utenpå og innenfor. Siden volumet for alle prismer regnes ut som grunnflate ganget med høyde, må da også dette gjelde for en sylinder.
 
 

Eksempel 1

 

Sebastian skal dykke og har en sylindrisk surstofftank. Tanken har radius 13 cm og høyde 75 cm. Hva er volumet av tanken, hvor mange liter luft rommer den?

Sylinder med radien r og høyden h

Vi setter inn i formelen for volum av en sylinder:

V=πr2h=π13275cm239800cm3.

1 liter = 1 dm3, og det er 1000 kubikkcentimeter i en kubikkdesimeter.

Altså rommer tanken til Sebastian 39,840 liter luft.
 
Sebastians dykkertank er sveiset sammen av 3 mm tykke stålplater. Hvor mange kvadratdesimeter med stålplater ble brukt for å lage tanken?
 
Vi setter inn i formelen for overflateareal av en sylinder:
 
A=2πr(r+h)=2π13(13+75)cm2=2π1388cm27180cm2
 
Vi husker at det er 100 kvadratcentimeter i 1 kvadratdesimeter.
 
A=71,8dm2
 
Det ble brukt 71,8 kvadratdesimeter med stålplater for å lage Sebastians trykktank.
 
 
 

Pyramide og kjegle

 
Det er ikke helt enkelt å resonnere seg fram til hvordan vi regner ut volum av pyramide og kjegle, men det kan være greit å kjenne det som faktakunnskap likevel. Og formelen kan sannsynliggjøres ved å fylle hule pyramider og kjegler med vann, sand eller annet og måle volum i forhold til grunnflate og høyde. Resultatet er dette:
 

V=Gh3.

 

Figur av tre prismer med forskjellig grunnflate (fra venstre: prismen med en trekant som grunnflate, prismen med en firkant som grunnflate, en prisme men en femkant som grunnflate)

Spesielt vil en kjegle med radius r ha volum
 
V=13πr2h.
 
Sammenhengen mellom volum av pyramide og volum av kjegle kan også begrunnes på samme måte som sylinderens volum i forhold til et prisme.
 
 


Kule

 
Ei kuleflate kan beskrives som alle punktene med en fast avstand til et fast punkt, kalt sentrum i kula. Denne avstanden er kulas radius. Kula er den tredimensjonale analoge figuren til den todimensjonale formen sirkel: de defineres begge som en punktmengde med en fast avstand fra ett punkt.
 
Bildet av en kule  
                                                                 
 
Et resonnement som fører fram til formlene for å beregne overflateareal og volum av ei kule krever mer avansert matematikk enn vi har mulighet til å gå inn på her. La oss i første omgang ta for oss ei halvkule. Vi tenker oss at halvkula ligger oppå en sirkel med samme radius og nøyaktig dekker denne. Vi skjønner umiddelbart at halvkula har et overflateareal som er en god del større enn arealet til sirkelen. Nå er det et resultat her som er enkelt å huske: Halvkula har akkurat dobbelt så stor overflate som arealet til sirkelen med samme radius. Det betyr at arealet på ei halvkule med radius r er lik 2πr2. Og overflaten til hele kula er selvsagt to ganger dette. Vi slår derfor fast:
 
Ei kule med radius r har et overflateareal A=4πr2.
 

Hva så med kulas volum? La oss tenke oss at kula er satt sammen av mange syltynne pyramider, alle med spissen i kulas sentrum og høyde lik radius i kula.

en sirkel

 

Den samlede grunnflaten i alle pyrami­dene blir da lik kulas overflate A=4πr2. Og disse pyramidene har alle samme høyde som kulas radius r. Det betyr at kulas volum må være
 
 V=13Ar=134πr2r=43πr3 
 
Altså, for ei kule med radius r gjelder:
 
Overflateareal:  A=4πr2.
Volum:  V=43πr3.                                                                    
 
 

Eksempel 2

 
På en fabrikk skal de opprette et lager for flytende ammoniakk. Dette skal lagres på store, kuleformede ståltanker, og hver av tankene bør romme minst 10 000 m3. Spørsmål man kan stille kan da være hvor stor radius og diameter disse tankene må ha, hvor mange kvadratmeter stålplater som går med, hvor mye tankene vil veie tomme, hva når de er fylt opp, hvordan de må dimensjoneres for å tåle trykket av ammoniakken, osv. Vi ser litt på de ytre dimensjonene:
 
Av formelen for volumet av ei kule kan vi bestemme radius r = x meter for en tank:
 
43πx3=10000 gir x3=34π10000
Vi finner på en kalkulator at 34π0,24 og dermed kan vi sette x3 = 2400 m3. På kalkulatoren finner vi at 2400313,4.
Bedriftsledelsen bestemmer seg for å bygge ståltanker med radius 14 meter. Diameteren er da 28 m. En slik ståltank får et volum på

V=43πr3=43π143m311500m3

Hvor mange kvadratmeter stålplater trengs? Det må legges til 8% i svinn ved tilkapping.
 
Vi ser at tankenes overflateareal blir
 
A=4πr2=4π142cm22460m2.
 
Når vi tar hensyn til svinnet, ser vi at det trengs 1,082460m22660m2 plater.
Publisert: 09.04.2008 Endret: 17.08.2012

Skrevet av

Knut Vedeld
Rolf Venheim

Institusjon

Universitetet i Agder
Universitetet i Oslo

Begrep

  • Areal

    Mål for hvor stor flate en figur dekker. Noen måleenheter for areal er m2, cm2 og dm2.

  • Firkant

    Firkant

    En firkant er en geometrisk figur med fire hjørner (og fire sidekanter). 

  • Kjegle

    Kjegle

    En flate med et punkt (toppunket) slik at linja gjennom dette punktet og hvert annet punkt på flaten ligger i flaten.
    Kjeksen til en kroneis har form som en kjegle.


    Volum : V = πr2h3
    Overflate : A = πr2+πrs 

  • Kule

    Kule

    En kule er en tredimensjonal figur der alle punktene på kulens overflate (sfære) har en fast avstand (radius) til ett bestemt punkt (sentrum).

  • Omkrets

    Omkrets er et mål for hvor langt det er rundt en figur, langs sidekantene.

    Omkrets er et mål for lengde. Derfor måles omkrets i meter eller i en lengdeenhet avledet av meter.

  • Overflate

    Med overflate av et romlegeme (som for eksempel et prisme eller en sylinder) menes summen av flatene (arealene) som begrenser romlegemet.

  • Prisme

    Prisme

    Et prisme er et polyeder satt sammen av parallelle, kongruente polygoner (som topp og bunnflate) og med sideflater som alle er parallellogrammer.

    Har et prisme grunnflate G og høyde h, er volumet lik G · h.

  • Pyramide

    Pyramide

    Et polyeder bestemt ved et polygon (grunnflaten) og et punkt utenfor planet som polygonet er i.

  • Sirkel

    Sirkel brukes i to betydninger:
    1) Selve sirkellinjen som er den krumme linjen som går gjennom punktene som har samme avstand fra et fast punkt, nemlig senteret i sirkelen.

    2) Flaten som sirkellinjen begrenser.

    Formler (r er radius):
    Areal: A=πr2
    Omkrets: O=2πr

  • Sylinder

    Sylinder

    En sylinder er en tredimensjonal figur. Sylinderen har bunn- og toppflate formet som to identiske sirkler.

  • Terning

    En terning er en tredimensjonal figur. Terningen har alle sideflater formet som identiske kvadrater.

    Se også kube.

  • Trekant

    En trekant er figur med tre hjørner (og tre sidekanter). 

  • Volum

    Volum er et måltall som uttrykker tre-dimensjonal (bredde, lengde og høyde) utstrekning i rommet. Måleenheten er kubikkmeter (m³) som er lik volumet av en terning med sider lik en meter.