www.matematikk.org

Formlikhet og kongruens

Hva betyr det når vi sier at to figurer er formlike? Her skal vi se på to eksempler på hvordan vi anvender formlikhet i en praktisk sammenheng. I tillegg tar vi en titt på begrepet kongruens.

To figurer er formlike dersom de har nøyaktig samme form, men ikke nødvendigvis samme størrelse.

To røde kvadrater med samme form men ulik størrelse. Tilsvarende med de to blå trekantene.


I to formlike figurer er forholdet mellom to samsvarende lengder konstant.

Vi ser på en praktisk anvendelse av formlikhet.

Eksempel 1


Vi skal bruke en pinne, et målebånd og sola til å måle høyden på et stort tårn.

Den store pinnen har høyde h2 og lengden l2. Den minste pinnen har høyde h1 og lengde l1. De stiplete linjene er solstrålene.

                                           

Vi har en pinne med høyde h1, som vi plasser loddrett. Så måler vi lengdene l1 og l2 av skyggene som pinnen og tårnet kaster på bakken. La oss si vi fikk l2 = 30 cm, h1 = 120 cm og l2 = 15 m.
Vi ser at vi har to formlike trekanter, og da er forholdet mellom de samsvarende sidene likt:

h2h1=l2l1      

Vi ganger med h1 på begge sider av likhetstegnet og får

h2=l2h1l1=151,20,3m=60m

Så ved å måle lengden av en pinne og to skygger kan vi regne ut høyden til et 60 meter høyt tårn!


For å bruke at forhold er like, må vi selvsagt forsikre oss om at figurene vi regner på, virkelig er formlike. For to trekanter er det tilstrekkelig å vise at to av vinklene er parvis like store. Siden vinkelsummen i en trekant alltid er 180o, må da også den tredje vinkelen være den samme i begge trekantene, og trekantene må ha samme form. Vi skal se på et eksempel, som også har interessante konsekvenser.

Eksempel 2


På figuren ser vi tre trekanter: ΔABC,ΔADCog ΔDBC. Disse trekantene er formlike når vi forutsetter at ACB=90o og at CD er en normal ned på AB.

Den største rettvinklede trekanten har hjørnene A, B, C og vinkelen BCA er 90 grader. Den nest største rettvinklede trekanten har hjørnene A, D, C og vinkelen ADC er 90 grader. Den minste rettvinkelde trekanten har hjørnene D, B, C og vinkelen BDC er 90 grader.


ΔABC er formlik med ΔADC fordi A er felles og ACB=ADC=90o. Da må vi også ha ABC=ACD, og trekantene formlike.

På samme måte finner vi at ΔABC er formlik med ΔCDB fordi B er felles og ACB=CDB=90o.

Siden både ΔADCog ΔCDB er formlike med ΔABC, må også ΔADCog ΔCDB være formlike med hverandre.

Av dette kan vi trekke ut at forholdene mellom AD og DC er likt med forholdet mellom CD og DB, altså

ADDC=DCDB

Da får vi videre at ADDB=DCDC.

En geometrisk tolkning av det siste er følgende:
Hvis vi har et rektangel med sidelengder AD og DB, så har dette rektanglet like stort areal som et kvadrat med sidelengder DC, når C er kommet fram som på figuren foran. Lengden DC kalles mellomproporsjonalen mellom de to andre lengdene.

Generelt for tall: Hvis tre tall a, b og c er slik at ab=c2, kalles c mellomproporsjonalen mellom a og b.

 

Kongruens


Hvis vi har to formlike figurer som også er like store, sier vi at figurene er kongruente.
Kongruente figurer dekker hverandre helt.

To like store røde sirkler og to like store rosa trekanter.


For trekanter kan vi sette opp kriterier som garanterer kongruens. Det betyr at to trekanter er kongruente dersom ett av disse kravene er oppfylt:

  1. Sidene i de to trekantene er parvis like lange.
  2. To sider og den mellomliggende vinkelen er like store.
  3. To vinkler og den mellomliggende siden er parvis like store.


Dette betyr også at dersom vi har opplysninger om en trekant tilsvarende ett av kriteriene, kan trekanten kun konstrueres på kun én måte. Den er med andre ord entydig bestemt.

Publisert: 09.04.2008 Endret: 17.08.2012

Skrevet av

Knut Vedeld
Rolf Venheim

Institusjon

Universitetet i Agder
Universitetet i Oslo

Begrep

  • Formlike trekanter

    Formlike trekanter

    To trekanter er formlike hvis de har parvis like store vinkler.

  • Høyde

    Lengden av et linjestykke som står normalt på en flate eller en linje.

  • Kongruens

    Brukes både i algebra og i geometri. I geometri om figurer, for eksempel trekanter som har parvis like vinkler og sider. I algebra om tall, for eksempel i regning modulo et tall k om to tall som har samme rest etter divisjon med k.

  • Lengde

    Lengde er målet for avstand. Lengden måles langs linjer, både rette og buete.
    Enheten for lengde er meter, eller andre mål avledet fra meter.

  • Likhetstegn

    Likhetstegnet = forteller at det som står til venstre for likhetstegnet er akkurat like stort som det som står til høyre.

  • Normal

    Normal

    En linje som står 90 grader på en annen linje.

  • Trekant

    En trekant er figur med tre hjørner (og tre sidekanter). 

  • Vinkel

    En vinkel er en del av planet som er begrenset av to stråler med samme startpunkt. Vinkler måles i grader.