www.matematikk.org

Pytagoras' setning

Pytagoras' setning brukes hyppig i løsningen av geometriske problemer knyttet til rettvinklete trekanter. I dette avsnittet skal vi se på hva Pytagoras' setning er, beviset for Pytagoras' setning og vi skal selvfølgelig se på et eksempel på hvordan den brukes.

Den greske matematikeren Pytagoras levde i det sjette århundret før Kristus. Han grunnla en slags filosofisk og religiøs skole. Pytagoreerne mente tall var nøkkelen til å forstå verden, og at alt kunne måles med hele tall, så lenge man fant de rette enhetene. Det fortelles at oppdagelsen av de irrasjonale tallene ble et sjokk for pytagoreerne, som forsøkte å holde oppdagelsen hemmelig.
 
Pytagoreerne var ikke de første som kjente innholdet i læresetningen som har navn etter Pytagoras. Egypterne og babylonerne kjente til setningen og brukte den lenge før Pytagoras levde.
 
I en rettvinklet trekant kalles hver av de to korteste sidekantene for katet. Den lengste siden kalles hypotenus.
 
En vanlig motivasjon for setningen er følgende tegning av den kjente 3-4-5-trekanten:
 
Tre kvadrater. Den øverste til venstre er 5 ganger 5, den minste til høyre er 3 ganger 3 og den nederste er 4 ganger 4. Slik de er plassert danner de en trekant.   
 
Vi ser at kvadratet over de to katetene til sammen har samme areal som kvadratet av hypotenusen.
 
Pytagoras’ setning lyder:
 
a2+b2=c2                         
 
Eller uttrykt mer utførlig: I en rettvinklet trekant er summen av arealene til kvadratene på katetene lik arealet til kvadratet på hypotenusen.
 
Høyden i trekanten er katet b. Grunnlinjen er katet a og den siste siden er hypotenusen c.
 
Den omvendte setningen til Pytagoras' setning gjelder også: Dersom vi har en trekant med sidelengder a, b og c som oppfyller kravet a2+b2=c2, så er dette en rettvinklet trekant. Den rette vinkelen er motstående til den lengste siden.
 
Det er viktig å huske at Pytagoras’ setning kun gjelder for rettvinklede trekanter. Setningen gjelder ikke for trekanter som ikke er rettvinklede.
 
 

Bevis for Pytagoras’ læresetning

 

Det fins hundrevis av mer eller mindre forskjellige bevis for Pytagoras’ setning. Ideen i det beviset vi tar med her, er å regne ut arealet innefor ett og samme kvadrat på to forskjellige måter. 

 

Et lite blått kvadrat inne i et stort gult kvadrat. Det blå kvadratet står litt på skrått slik at det vi ser igjen av det gule kvadratet er fire trekanter der høyden er a og grunnlinjen er b. Lengden på sidene på det store gule kvadratet er a + b.  

Vi skal sammenlikne to uttrykk for arealet av de fire (gule) trekantene.

Vi finner først arealet A av de fire trekantene ved å beregne arealet av hele det store kvadratet, som er (a + b)2, og så trekke fra arealet c2 av det lille (blå) kvadratet:
 
A=(a+b)2c2=a2+2ab+b2c2          
 
Deretter beregner vi arealet av de fire (gule) trekantene direkte:
 
A=412ab=2ab        
 
Men det betyr at
 
a2+2ab+b2c2=2ab           
 
som gir
 
a2+b2=c2           
 
Og det er jo nettopp innholdet i Pytagoras’ setning.
 

Eksempel 1

 
Vi så over på en rettvinklet trekant med kateter på 3 cm og 4 cm. Kontroller at hypotenusen da ifølge Pytagoras setning må være 5 cm lang.
 
Vi velger nå en rettvinklet trekant hvor begge katetene er 2 cm. Hvor lang er hypotenusen?
 
En rettvinklet og likebeint trekant. De to like sidene er 2 cm lange.  

 

For å finne lengden c cm til hypotenusen bruker vi Pytagoras’ setning:
 

c2=a2+b2=4+4=8

 
Det betyr at lengden til hypotenusen er 8cm2,8cm.
Publisert: 08.04.2008 Endret: 17.08.2012

Skrevet av

Knut Vedeld
Rolf Venheim

Institusjon

Universitetet i Agder
Universitetet i Oslo

Begrep

  • Hypotenus

    Hypotenus

    Den siden som er motstående den rette vinkelen i en rettvinklet trekant. De andre to sidene kalles kateter.

  • Katet

    Katet

    Side i en rettvinklet trekant. Den rette vinkelen dannes av to linjestykker som kalles kateter.

  • Kvadrat

    Kvadrat

    En firkant der alle sider er like lange og alle vinkler 90°.

  • Pytagoras læresetning

    Pytagoras læresetning

    Pytagoras læresetning sier at:

    Arealet av kvadratet utspent av hypotenusen i en rettvinklet trekant er lik summen av arealene til kvadratene utspent av katetene.

    Hvis lengden av katetene er a og b, og lengden av hypotenusen er c, har vi denne sammenhengen : a2+b2=c2 

    Setningen kan brukes til å finne en side i en trekant.

  • Rettvinklet trekant

    En rettvinklet trekant er en trekant hvor en av vinklene er rett (90 grader).

  • Trekant

    En trekant er figur med tre hjørner (og tre sidekanter).