www.matematikk.org

Konstruksjon av figurer

Ved hjelp av passer og linjal kan vi lage mange figurer. Alle disse konstruksjonene baserer seg på de fundamentale egenskapene ved en linjal og en passer: Med linjalen kan vi trekke rette linjer, og med passeren kan vi lage sirkler og sirkelbuer. I dette avsnittet skal vi se på hvordan vi konstruerer forskjellige vinkler og nedfeller normaler.

Før vi setter i gang med konstruksjoner, er det viktig å være oppmerksom på en ting. I dette avsnittet vil vi vise hver konstruksjon skritt for skritt. Og for å unngå misforståelser, vil vi sette navn på (hjelpe)punkter. Navnene er store bokstaver som A, B, C og så videre. Når man først er litt dreven i å konstruere, trenger man ikke å markere disse hjelpepunktene slik vi gjør det her.

Konstruksjon av vinkel på 60 grader


Nå skal vi se på hvordan vi kan konstruere en 60º-vinkel.

  1. Tegn en linje ved å bruke en linjal. Merk av et punkt midt på denne linjen og kall det for A.
  2. Sett passerspissen i punktet A og slå en bue som krysser linjen din til høyre for punktet A. Punktet der buen krysser linjen til høyre for A, kaller du B.

    Til venstre: illustrasjon av punkt 1
    Til høyre: illustrasjon av punkt 2
  3. Behold avstanden i passeren og sett den i punktet B. Slå en ny bue som skjærer den gamle. Punktet der disse to buene krysser hverandre, kaller du for C.
  4. Tegn en linje som går fra punktet A og gjennom punktet C.

    Til venstre: illustrasjon av punkt 3
    Til høyre: illustrasjon av punkt 4
  5. Gratulerer! Nå har du konstruert en 60º-vinkel BAC.

Oppsummering: Vi utfører dette i prinsippet ved å sette av tre punkter som kan være hjørner i en likesidet trekant. Med passeren kan vi plassere tre punkter i like avstander fra hverandre. Disse tre punktene vil da danne hjørnene i en likesidet trekant, og da vet vi at vinklene er på 60 grader.

Halvering av vinkler


Alle vinkler kan halveres ved hjelp av passer og linjal. Nå skal vi se på hvordan vi gjør dette.

  1. Tegn eller konstruer en vilkårlig vinkel.
  2. Sett passerspissen i toppunktet og slå en bue. Buen vil krysse hvert av vinkelbeina i et punkt. Det ene punktet kaller vi G og det andre E.

    Til venstre: illustrasjon av punkt 1
    Til høyre: illustrasjon av punkt 2
  3. Sett passerspissen i punktet G og slå en ny bue.
  4. Behold avstanden i passeren, sett passerspissen i E og slå en ny bue. Buene krysser hverandre i et punkt. Kall dette punktet for F.

    Til venstre: illustrasjon av punkt 3
    Til høyre: illustrasjon av punkt 4
  5. Tegn en linje som går fra toppunktet og gjennom F.

    Illustrasjon av punkt 5
  6. Gratulerer! Nå har du halvert vinkelen du begynte med.

    til venstre: vinkelen vi begynte med
    til høyre: den halverte vinkelen

Oppsummering: Vi lager en sirkelbue med sentrum i vinkelens toppunkt, og så bruker vi passeren til å lage et kryss som markerer et punkt som er like langt fra begge de to punktene hvor sirkelbuen skjærer vinkelbeina. Gjennom dette punktet går da halveringslinja for vinkelen.

 

Konstruksjon av 90 graders vinkel


Vi kan konstruere en vinkel på 90o. Den enkleste måten vi kan gjøre det på, er ved å halvere 180o (vinkelen til den rette linja). Legg også merke til at vi tegner et lite kvadrat i stedet for en bue når vi ønsker å vise på en tegning at en vinkel er 90o.

  1. Tegn en rett linje. Merk av et punkt A på linjen.
  2. Sett passerspissen i punktet A og slå en bue. Buen krysser linjen både til venstre og til høyre for A. Kall disse punktene for B og C.

    Til venstre: illustrasjon av punkt 1
    Til høyre: illustrasjon av punkt 2
  3. Sett passerspissen i punktet B og slå en bue. Behold avstanden i passeren, sett passerspissen i punktet C og slå en bue til. Buene krysser hverandre i et punkt. Kall dette punktet for F.
  4. Tegn en linje som går fra A og gjennom F.

    Til venstre: illustrasjon av punkt 3
    Til høyre: illustrasjon av punkt 4
  5. Gratulerer! Nå har du konstruert en 90º-vinkel. Legg merke til at denne konstruksjonen tar utgangspunkt i halveringen av 180o slik at vi faktisk har konstruert to 90o-vinkler, CAF og BAF.

    Til venstre: Vi merkerer 90 graders vinkel med en liten kvadrat (istedet for bue slik vi gjør med vilkårlige vinkler). Vinkelen er CAF
    Til høyre: Vinkelen BAF er også 90 grader.

 

Nedfelle normal fra et punkt ned på ei linje


Situasjonen er at vi har ei rett linje l og et punkt C utenfor linja. Så vil vi konstruere den linja som går gjennom C og står vinkelrett på l. Denne linjen kalles for normalen til linjen l.

  1. Sett passerspissen i punkt C og slå en bue som krysser linjen l i to punkter. Kall disse punktene for og E.

    Illustrasjon av punkt 1.
  2. Sett passerspissen i D og slå en bue på den siden av linjen l der punktet C ikke ligger. Behold avstanden i passeren, sett passerspissen i punktet E og slå en bue til (tilsvarende som du gjorde i punktet D). Buene krysser hverandre i et punkt. Kall dette punktet for F. (Dersom buene ikke krysser hverandre, må du ta større avstand i passeren når du slår den første buen.)
  3. Tegn en linje som går gjennom P og F.
    Til venstre: Illustrasjon av punktet 2
    Til høyre: Illustrasjon av punktet 3
  4. Gratulerer! Nå har du felt ned normalen fra punktet C ned på linjen l.
    Til venstre: Normalen er merkert med rødt.
    Til høyre: Vi har tatt vekk alle hjelpepunktene og viser kun linjen l, punktet C og normalen fra C ned på linjen l.

 

Midtnormal


Hvis vi skal dele et linjestykke i to nøyaktig like deler, kan vi konstruere en midtnormal til linjestykket.

Linjestykket AB og den røde streken er midtnormalen.

Vi plasserer først passerspissen i ett av endepunktene for linjestykket, for eksempel A. Passeråpningen må være større enn halvparten av linjestykkets lengde (ellers vil ikke buene krysse hverandre). Marker to passende buer omtrent over midten på AB. Slå en ny bue fra B med den samme passeråpningen. Buene krysser hverandre slik at vi får to punkter. Da tegner vi en linje som går gjennom disse to punktene. Denne linjen er midtnormalen til linjestykket AB.

 

Publisert: 07.04.2008 Endret: 17.08.2012

Skrevet av

Knut Vedeld
Rolf Venheim
Ivana Celik

Institusjon

Universitetet i Agder
Universitetet i Oslo

Begrep

  • Kvadrat

    Kvadrat

    En firkant der alle sider er like lange og alle vinkler 90°.

  • Linje

    I den euklidiske geometrien er det en udefinert størrelse som er et uttrykk for forestillingen om en rett vei med ubegrenset utstrekning i begge retninger. I ikke-euklidisk geometri er linjebegrepet generalisert og disse innskrenkningene er fjernet.

  • Linjestykke

    Et linjestykke er en sammenhengende bit av en linje, avgrenset av to endepunkter. Navnet på et linjestykke er vanligvis gitt ved de to endepunktene: AB, CD, ...

  • Midtnormal

    Midtnormalen til et rett linjestykke er den rette linja som går gjennom linjestykkets midtpunkt, og som står vinkelrett på linjestykket.

     

  • Normal

    Normal

    En linje som står 90 grader på en annen linje.

  • Sirkel

    Sirkel brukes i to betydninger:
    1) Selve sirkellinjen som er den krumme linjen som går gjennom punktene som har samme avstand fra et fast punkt, nemlig senteret i sirkelen.

    2) Flaten som sirkellinjen begrenser.

    Formler (r er radius):
    Areal: A=πr2
    Omkrets: O=2πr

  • Sirkelbue

    Sirkelbue

    En sirkelbue er en sammenhengende del av sirkellinjen.

  • Vinkel

    En vinkel er en del av planet som er begrenset av to stråler med samme startpunkt. Vinkler måles i grader.