www.matematikk.org

Alt om sirkel

Her skal vi se på hva en sirkel er, hva π står for og hvordan man kan regne ut omkretsen og arealet av en sirkel.

Sirkel


En sirkel deler planet i to områder, akkurat som alle mangekanter gjør det: en indre sirkelflate og et ytre område. Noen ganger mener vi sirkelflaten når vi sier sirkel. For eksempel er det helt vanlig å snakke om arealet til en sirkel. Selve kurven som danner sirkelen, kalles da periferien.

Det er noen viktige begreper som brukes i forbindelse med sirkler:

a    Et linjestykke fra sentrum til et punkt på en sirkel kalles en radius.
   To radier sammen med sirkelbuen mellom dem, begrenser en sektor.
   Ei linje som skjærer sirkelen i to punkter, kalles en sekant.
   En korde er et linjestykke mellom to punkter på sirkelen. En korde som går gjennom sentrum, er en diameter.
   Ei linje som bare berører sirkelen i ett punkt, kalles en tangent til sirkelen.

 

Tangent, radius, diameter, sekant og korde

        
Vi legger merke til to egenskaper ved sirkelen:
−    Enhver linje gjennom sentrum deler sirkelen i to like deler, halvsirkler.
−    Hvis punktene A og B ligger på en sirkel, og O er sentrum i denne sirkelen, så bestemmer punktene en trekant AOB som er likebeint.

Tallet π


Alle sirkler har samme form. Det betyr at forholdet mellom omkrets og diameter er det samme for alle sirkler. Dette forholdet har fått et spesielt symbol, den greske bokstaven π (pi). Altså:

π  er det tallet vi får til svar hvis vi måler omkretsen på en sirkel og deler denne på diameteren i den samme sirkelen.

Hvis vi prøver å gjøre målinger på sirkler og for å finne ut hvor stort tallet π er, vil vi få et svar litt i overkant av 3. I virkeligheten kan vi ikke skrive π helt eksakt som et desimaltall, men gode tilnærminger til π er 3,14 og 227=317 .


 

Omkrets og areal av en sirkel


Forholdet mellom omkrets og diameter i sirkler er konstant, og lik tallet π. Siden diameteren er dobbelt så stor som radien, blir da forholdet mellom omkretsen og radien lik 2π. Vi har altså at
O=2πr.

For å beregne arealet til ei sirkelflate, tenker vi oss at vi deler sirkelflaten inn i mange like store sektorer, klipper disse ut og plasserer dem ved siden av hverandre slik:

En sirkel delt i 12 like store deler (sektorer) og deretter "brettet ut"

Hvis vi gjør vi disse sektorene svært smale, ser vi at sirkelens areal vil bli det samme som arealet til et parallellogram, eller egentlig som grensetilfelle ved uendelig mange uendelig smale sektorer, et rektangel med lengde a lik halvparten av sirkelens omkrets, og bredde b lik sirkelradien.

Mange sektorer danner et rektangel med lengde a og bredde b.

Det betyr at vi får sirkelens areal

A=ab=2πr2r=πr2.

En sirkel med radius r

Resultat er at formelen for arealet til en sirkel med radius r blir:

A=πr2.  
   
                              

Eksempel på bruk av formlene for areal og omkrets av sirkel


En sirkel har radius 4 dm. Vi vil finne omkrets og areal.

Vi setter inn i formlene og får:

O=2πr23,144dm25dmA=πr23,1444dm250dm2

  

Sirkelsektor


Noen ganger kan det være bruk for å beregne arealet av en sirkelsektor.

En sirkelsektor med vinkel v, radius r og sirkelbuen b.


Hele sirkelbuen kan deles inn i 360o. Hvis en sektor spenner over en bue med gradtall v (det betyr at vinkelen som dannes av de to radiene er lik v), så er arealet av sektoren like stor del av hele sirkelens areal som buen er av hele sirkelens omkrets.

A=v360oπr2.     

Brøken v360o angir hvor stor del av sirkelen sirkelsektoren utgjør. En sektor med buelengde på én grad har dermed et areal som er lik πr2360o. Vinkelen v angir hvor mange slike deler sirkelsektoren består av. På figuren har vi kalt buelengden for b. Dersom vi kjenner b, kan vi også finne arealet av sirkelsektoren uttrykt ved denne. Hele omkretsen har jo en lengde på 2πr, og arealet til sektoren blir
A=b2πrπr2=br2.    

Legg merke til at formelen likner formelen for arealet av en trekant med grunnlinje b og høyde r.

Publisert: 07.04.2008

Skrevet av

Knut Vedeld
Rolf Venheim

Institusjon

Universitetet i Agder
Universitetet i Oslo

Begrep

  • Areal

    Mål for hvor stor flate en figur dekker. Noen måleenheter for areal er m2, cm2 og dm2.

  • Diameter

    Diameter

    I en sirkel er dette en rett linje som forbinder to punkter på sirkelbuen og som samtidig går gjennom sentrum.

    Lengden av en diameter, d, er lik to radier, r (d=2r).

  • Korde

    Et rett linjestykke som forbinder to punkter på en kurve eller en flate.

  • Linje

    I den euklidiske geometrien er det en udefinert størrelse som er et uttrykk for forestillingen om en rett vei med ubegrenset utstrekning i begge retninger. I ikke-euklidisk geometri er linjebegrepet generalisert og disse innskrenkningene er fjernet.

  • Linjestykke

    Et linjestykke er en sammenhengende bit av en linje, avgrenset av to endepunkter. Navnet på et linjestykke er vanligvis gitt ved de to endepunktene: AB, CD, ...

  • Omkrets

    Omkrets er et mål for hvor langt det er rundt en figur, langs sidekantene.

    Omkrets er et mål for lengde. Derfor måles omkrets i meter eller i en lengdeenhet avledet av meter.

  • Pi (π)

    π er forholdet mellom sirkelens omkrets og diameter. Dette forholdet er alltid konstant og tilnærmet lik 3,14.

  • Punkt

    I geometrien tegnes punkt som en prikk eller et kryss. Den knyttes til en fast posisjon og har ingen utstrekning. Et punkt har en stor bokstav som navn, for eksempel A, B.

  • Radius

    Radius

    Radius er en linje fra sentrum av en sirkel eller kule og ut til sirkellinja eller kulens overflate. Radiens lengde er den samme, uansett hvor på sirkelen eller kulen du måler.

  • Sekant

    Sekant

    En linje som skjærer en kurve. En korde er en del av en sekant. En sekant er ikke det samme som en tangent.

  • Sirkel

    Sirkel brukes i to betydninger:
    1) Selve sirkellinjen som er den krumme linjen som går gjennom punktene som har samme avstand fra et fast punkt, nemlig senteret i sirkelen.

    2) Flaten som sirkellinjen begrenser.

    Formler (r er radius):
    Areal: A=πr2
    Omkrets: O=2πr

  • Sirkelbue

    Sirkelbue

    En sirkelbue er en sammenhengende del av sirkellinjen.

  • Sirkelsektor

    Sirkelsektor

    Det er er en del av en sirkelflate, begrenset av to radier og den mellomliggende sirkelbuen.

  • Tangent

    En tangent til en kurve i et punkt er en linje som går gjennom punktet, men bare akkurat rører kurven der.