www.matematikk.org

Areal av mangekanter

Standardenheten for areal er størrelsen på et kvadrat med sidekanter lik 1 m, og denne størrelsen kalles en kvadratmeter. Her skal vi se på hvordan vi finner arealet for et kvadrat, et rektangel, generelle trekanter samt parallellogram og trapes.

Kvadrat


Ønsker vi å finne arealet til et kvadrat med vilkårlig lange sidekanter, må vi finne ut hvor mange kvadratmeter vi kan plassere i kvadratet.

Eksempel 1


Et kvadrat har sidekanter på 3 m. Hva er arealet?

 

Et gult kvadrat med side lik 3 meter.

Spørsmålet blir: Hvor mange kvadratmeter kan plasseres inni kvadratet?

Vi kan dele opp i kvadratiske ruter med størrelsen 1 m2 ved å dele alle sidene i tre like store deler.

Det gule kvadratet delt i 9 kvadratiske ruter med størrelsen 1 kvadratmeter.


Vi kan altså plassere 9 kvadratmeter inni et kvadrat med sider på 3 m. Arealet til dette
kvadratet er altså 9 m2.


Vi oppdager at vi kan regne ut antall ruter vi kan plassere inni kvadratet ved å gange sidekantens lengde med seg selv. Vi kan dermed regne ut arealet A av et kvadrat ved hjelp av formelen:

A=ll     

Bokstaven l betyr her størrelsen på sidekantene.

Rektangel


Et rektangel er 8 cm langt og 5 cm høyt. Hva er arealet?

Et rødt rektangel




Vi kan plassere inn fem rader med centimeterkvadrater, og i hver rad er det plass til åtte slike småkvadrater. Det betyr i alt 40 centimeterkvadrater. Altså er arealet til rektangelet 40 cm2.

Når vi tenker på rutemønster, slik som vi gjorde med kvadratet, forstår vi at vi kan regne ut arealet til ethvert rektangel ved å gange sammen målene for lengde og bredde: Arealet A er lik lengden l ganget med bredden b, eller

A=lb      

Før vi tar for oss areal av parallellogram og trapes, vil vi studere trekanters areal. Vi vil først undersøke en rettvinklet trekant.

Rettvinklet trekant


Vi legger merke til at en rettvinklet trekant alltid kan settes sammen med en kopi av seg selv slik at de danner et rektangel.

 

Et rektangel delt diagonalt. To rettvinklete trekanter, rød nederst og gul øverst. Høyden er h og grunnlinje er g.

Det oransje arealet er like stort som det røde arealet. I en trekant kaller vi gjerne ei sidelengde for grunnlinje g, og avstanden fra motstående hjørne til grunnlinja kaller vi høyde h. Da blir arealet til hele det rød-gule rektangelet lik gh, og trekantens areal må være
A=gh2.
            

Generelle trekanter


Vi ser på en tilfeldig trekant.

 

En trekant ABC der høyden er h og grunnlinjen g


Her er høyden h lengden til linjestykket som trekkes vinkelrett ned på grunnlinja fra motstående hjørne. Nå kan vi dele opp trekanten ABC i to rettvinklede trekanter.

Trekant 1 er til venstre og har høyde h og grunnlinje g1, mens trekanten til høyre er trekant 2 med høyde h og grunnlinje g2.

                        

De to rettvinklede trekantene har grunnlinjer g1 og g2, og g1 + g2 = g. Vi legger sammen arealet til de to rettvinklede trekantene og får     

A=g1h2+g2h2=g1h+g2h2=(g1+g2)h2.     

Siden g1 + g2 = g , finner vi:

A=(g1+g2)h2=gh2.

     

Eksempel 1


En trekant har grunnlinje 8 cm og høyde 3 cm.

En trekant med høyde 3 cm og grunnlinjen lik 8 cm.


Vi får:

A=gh2=832cm2=12cm2.

 

Parallellogram


Parallellogrammet er definert som en firkant der motstående sider er parallelle. Da er disse sidene også parvis like lange, og vinklene er parvis like store.

Et parallellogram med sidene d og b som er like lange og a og c som er like lange. Vinklene er u, v, w og x.



Her er sidelengdene a = c og b = d.
For vinklene gjelder at u=w og v=x.

Arealet til et parallellogram finner vi ved å dele det opp: Diagonalen deler parallellogrammet i to nøyaktig like trekanter.

Parallellogrammet delt opp i to like store trekanter med høyden h og grunnlinjen g.

Arealet til parallellogrammet er summen av arealene til de to trekantene.

A=gh2+gh2=gh
 
Arealet til et parallellogram er altså lik lengden (grunnlinjen) multiplisert med høyden. Men merk: Denne gangen finner vi ikke arealet ved å gange sammen to av sidene i parallellogrammet.
      
 

Trapes


Et trapes er en firkant hvor (minst) to av sidekantene er parallelle.
Arealet finner vi på samme måte som for parallellogram: Vi deler opp i to trekanter.

Et trapes delt opp i to trekanter. Den ene trekanten har høyde h og grunnlinje a, mens den andre trekanten har høyde h og grunnlinje b.


De to trekantene kan ha forskjellig grunnlinje, men de har samme høyde h siden a || b. Vi legger sammen arealene av trekantene, og får:

A=ah2+bh2=(a+b)h2=a+b2h.     

Vi ganger altså høyden med gjennomsnittet av lengdene til de to parallelle sidekantene.

Eksempel 2

En trapes der de to grunnlinjene er henholdsvis 4 og 6 m, mens høyden er 2 m.
Publisert: 03.04.2008 Endret: 17.08.2012

Skrevet av

Knut Vedeld
Rolf Venheim

Institusjon

Universitetet i Agder
Universitetet i Oslo

Begrep

  • Areal

    Mål for hvor stor flate en figur dekker. Noen måleenheter for areal er m2, cm2 og dm2.

  • Arealenheter

    Mål for flater (areal):
    1 m² = 1 m · 1 m = 10 dm · 10 dm = 100 dm²
    1 dm² = 1 dm · 1 dm = 10 cm · 10 cm = 100 cm²
    1 cm² = 1 cm · 1 cm = 10 mm · 10 mm = 100 mm²


    Spesielt:
    1 ar = 100 m2
    1 dekar = 10 ar = 1000 m2 = 1 mål
    (deka betyr 10)

  • Firkant

    Firkant

    En firkant er en geometrisk figur med fire hjørner (og fire sidekanter). 

  • Grunnlinje

    Grunnlinja er en av sidene i en trekant. Alle sidene kan være grunnlinje, men vi velger ofte den siden som det er lettest å finne høyden til.

  • Hjørne

    Hjørnet i en figur er der to rette sidekanter møtes. Hjørnet danner en vinkel.

  • Høyde

    Lengden av et linjestykke som står normalt på en flate eller en linje.

  • Kvadrat

    Kvadrat

    En firkant der alle sider er like lange og alle vinkler 90°.

  • Linjestykke

    Et linjestykke er en sammenhengende bit av en linje, avgrenset av to endepunkter. Navnet på et linjestykke er vanligvis gitt ved de to endepunktene: AB, CD, ...

  • Mangekanter

    En mangekant (eller et polygon) er en enkel, lukket kurve satt sammen av linjestykker, som kalles kanter eller sider. Eksempler er trekant, firkant, femkant (pentagon) og sekskant (heksagon).

    Omkretsen av en mangekant er lik summen av alle sidene i mangekanten. Arealet av femkanter, sekskanter osv., er lettere å finne ved å dele figuren opp i trekanter/firkanter som vi hver for seg kan beregne arealet av.

  • Parallell

    To rette linjer i et plan er parallelle når de ikke skjærer hverandre. Avstanden mellom linjene er den samme uansett hvor på linjene du er.

    Vi har et eget tegn som forteller at to linjer er parallelle:
    m || n leses "linja m er parallell med linja l".

  • Parallellogram

    Parallellogram

    Et parallellogram er en firkant med parvis parallelle sider. Vinklene er parvis like store.

  • Rektangel

    Rektangel

    Et rektangel er en firkant der sidene er parvis like lange og alle vinklene er 90°.


    Areal: A=ab

    Omkrets: O=2a+2b

  • Rettvinklet trekant

    En rettvinklet trekant er en trekant hvor en av vinklene er rett (90 grader).

  • Trapes

    Trapes

    Firkant der to sider er parallelle.

    Arealet = (a+b)h2

  • Trekant

    En trekant er figur med tre hjørner (og tre sidekanter).