www.matematikk.org

Vinkelsum i en mangekant

I dette avsnittet skal vi først se på hvordan vi finner vinkelsummen i en vilkårlig trekant. Deretter ser vi på vinkelsummer i firkanter, femkanter og så vilkårlige mangekanter. Til slutt ser vi på hva en regulær mangekant er.

Hvis vi tegner en tilfeldig trekant og måler vinklene med ei gradskive, vil vi se at summen av vinkelmålene blir 180º. At det nødvendigvis må være slik, kan vi innse på følgende måte:

La trekant ABC være gitt. Trekk ei linje gjennom et hjørne, for eksempel C, parallell med motstående side AB. Da kommer det fram samsvarende vinkler som er like store. Er u og v størrelsen på vinklene i hjørnene A og B, vil disse komme igjen i C, og de tre vinklene i trekanten vil til sammen danne ei rett linje: u + v + w = 180°. Dette er nettopp summen av vinklene i trekanten.

En trekant ABC der vinkelen ABC er v, vinkelen BCA er w og vinkelen CAB er u. Konstruerer en parallell linje med siden AB (den stiplete linjen). Forlenger siden BC. Da ser vi at den stiplete linjen og forlengelsen av siden BC danner vinklene u og v og at summen av vinklene w, u og v er 180 grader.

 

En konsekvens av dette blir at i en likesidet trekant er hver vinkel 60°.


Enhver firkant kan deles inn i to trekanter.

En firkant delt i to trekanter.


Vinkelsummen i den første trekanten, ΔABD , er 180o, altså a + b + c = 180o . Tilsvarende for den andre trekanten. Vinkelsummen i firkanten ABCD blir dermed 2⋅180º=360º. Dette gjelder for alle firkanter, uavhengig av deres form.

I en femkant er likeledes vinkelsummen 3⋅180º=540º. Dette kan vi generalisere til mangekanter med så mange sider vi vil. I en sekskant blir det 4⋅180º=720º.


 

Regulære mangekanter


I en regulær trekant er alle vinklene like store. Dermed er en regulær trekant det samme som en likesidet trekant, og da er hver vinkel 60°. En regulær firkant er et kvadrat, og hver vinkel er på 360º:4=90º. I en regulær femkant får vi 540º:5=108º.

Skrevet av

Knut Vedeld
Rolf Venheim

Institusjon

Logo Universitetet i Agder
Universitetet i Agder
Logo Universitetet i Oslo
Universitetet i Oslo

Begrep

  • Firkant

    Firkant

    En firkant er en geometrisk figur med fire hjørner (og fire sidekanter). 

  • Femkant

    Femkant

    Femkant eller pentagon er et geometrisk figur med fem sidekanter.

  • Likesidet trekant

    I en likesidet trekant er alle sidene like lange og alle vinklene 60°.

  • Mangekanter

    En mangekant (eller et polygon) er en enkel, lukket kurve satt sammen av linjestykker, som kalles kanter eller sider. Eksempler er trekant, firkant, femkant (pentagon) og sekskant (heksagon).

    Omkretsen av en mangekant er lik summen av alle sidene i mangekanten. Arealet av femkanter, sekskanter osv., er lettere å finne ved å dele figuren opp i trekanter/firkanter som vi hver for seg kan beregne arealet av.

  • Samsvarende vinkler

    Samsvarende vinkler

    To vinkler som enten har venstre vinkelben eller høyre vinkelben felles, kaller vi samsvarende vinkler. Samsvarende vinkler behøver ikke være like store.

  • Vinkel

    En vinkel er en del av planet som er begrenset av to stråler med samme startpunkt. Vinkler måles i grader.

  • Vinkelsummen i en trekant

    Vinkelsummen i en trekant er alltid 180 grader.