www.matematikk.org

Noen grunnleggende geometriske begreper

De fleste har nok en intuitiv oppfatning av hva et punkt er, og vet at et punkt ikke har noen utstrekning. Og hva er en linje? Kanskje vi tenker: Ei linje er en lengde uten bredde, ei linje er uendelig lang. Den har ingen begynnelse og ingen slutt. Et linjestykke har derimot begrenset lengde, og linjestykket er avgrenset av to punkter. Her vil vi se litt nærmere på blant annet hva et linjestykke er og hva en vinkel er.

Vi prøver å presisere litt, for å ha en klar oppfatning av språkbruken rundt disse grunnleggende begrepene.

  • Et punkt knyttes til en fast posisjon, og et punkt har ingen utstrekning. Vi tegner et punkt som en prikk eller et kryss, og vi bruker vanligvis en stor bokstav som navn på et punkt, for eksempel A, B.
  • Ei rett linje, som vanligvis bare kalles ei linje, har posisjon og retning. Den har utstrekning i én dimensjon. Ei linje fortsetter uendelig framover og bakover. Vanligvis bruker vi liten bokstav som navn på ei linje: l, m, ... Ei linje inneholder uendelig mange punkter.
  • Et plan har en uendelig utstrekning i to dimensjoner. Vi kan tenke på ei slett, uendelig tynn papirflate. Plangeometri dreier seg om punkter, linjer og andre figurer som ligger i ett og samme plan.


Det fins mange flere mer eller mindre kompliserte geometriske begreper. Vi tar med noen viktige:

  • Et linjestykke er en sammenhengende bit av ei linje, avgrenset av to endepunkter. Vi navngir et linjestykke vanligvis ved de to endepunktene: AB, CD, ...
  • Et punkt på ei linje deler denne i to stråler, som bare har dette punktet felles.
  • To stråler i forskjellige retninger ut fra ett felles endepunkt danner en vinkel. Det felles punktet kalles vinkelens toppunkt, og strålene vinkelbein. Området mellom vinkelbeina kalles vinkelområde. Vinkler som har felles toppunkt, og som har vinkelbein i stikk motsatt retning, kalles toppvinkler.
  • To linjer som ligger i samme plan og som ikke skjærer hverandre, er parallelle.
  • En kurve i planet kan illustreres ved en strek på papiret, tegnet uten å løfte blyanten. Hvis kurven ikke har endepunkter, kalles den en lukket kurve. En kurve kalles enkel hvis den ikke krysser seg selv. Enhver enkel, lukket kurve deler planet i to områder, som kalles kurvens ytre og indre område.
  • En mangekant er en enkel, lukket kurve satt sammen av linjestykker, som vi kaller mangekantens kanter eller sider.
  • En trekant er en mangekant med tre sider, og tilsvarende har vi firkant, femkant, sekskant osv.
  • I en regulær mangekant er alle sidene like lange og alle vinklene er like store.
  • En sirkel består av alle punkter i planet som har en gitt, fast avstand fra ett bestemt punkt, sirkelens sentrum.
en linje l der punktene fra venstre er A, B og C


På figuren over er det et utsnitt av ei linje l.l er det merket av tre punkter A, B og C. Disse avgrenser tre linjestykker: ett linjestykke mellom A og B, ett mellom B og C, og ett mellom A og C. Linjestykkets start- og endepunkt bestemmer dets navn. Med andre ord kan vi kalle linjestykkene på figuren for AB, BC og AC. Hvilket punkt som kalles startpunkt og hvilket som kalles sluttpunkt er uten betydning, AC og CA angir det samme linjestykket.

Begrepet linje brukes i dagligtalen litt om hverandre om linjer, stråler og linjestykker.

Når det gjelder begrepet vinkel, har vi også et mer dynamisk begrep enn det som er referert over. Da er det knyttet til å rotere. Dette gir en innfallsport til et vinkelmål med fortegn, for å markere dreieretning:

Vi ser på to stråler, s og t, med samme startpunkt A. La oss forestille oss at strålene i utgangspunktet dekker hverandre. Det er da ingen vinkel mellom dem, eller vi kan si at vinkelen er 0o (null grader). Deretter lar vi s ligge fast, og lar t rotere om A mot visernes dreieretning på klokka til den ligger slik som på figuren. Det er nå en vinkel v mellom de to strålene.

To stråler t og s der s er den horisontale. A er startpunktet. Vinkelen mellom strålene er v.



På neste tegning, har vi latt t rotere et helt omløp om A. Det er så langt vi kan rotere før vi begynner på nytt igjen.

t roterer et helt omløp om A og da ser det ut som om strålen t og s er den samme.



En slik rotasjon helt rundt danner en vinkel på 360o. Som vi ser av tegningen spenner vinkelen over en hel sirkel. Sirkelen er dermed delt opp i 360º.

Publisert: 03.04.2008 Endret: 17.08.2012

Skrevet av

Knut Vedeld
Rolf Venheim

Institusjon

Universitetet i Agder
Universitetet i Oslo

Begrep

  • Firkant

    Firkant

    En firkant er en geometrisk figur med fire hjørner (og fire sidekanter). 

  • Femkant

    Femkant

    Femkant eller pentagon er et geometrisk figur med fem sidekanter.

  • Linje

    I den euklidiske geometrien er det en udefinert størrelse som er et uttrykk for forestillingen om en rett vei med ubegrenset utstrekning i begge retninger. I ikke-euklidisk geometri er linjebegrepet generalisert og disse innskrenkningene er fjernet.

  • Linjestykke

    Et linjestykke er en sammenhengende bit av en linje, avgrenset av to endepunkter. Navnet på et linjestykke er vanligvis gitt ved de to endepunktene: AB, CD, ...

  • Mangekanter

    En mangekant (eller et polygon) er en enkel, lukket kurve satt sammen av linjestykker, som kalles kanter eller sider. Eksempler er trekant, firkant, femkant (pentagon) og sekskant (heksagon).

    Omkretsen av en mangekant er lik summen av alle sidene i mangekanten. Arealet av femkanter, sekskanter osv., er lettere å finne ved å dele figuren opp i trekanter/firkanter som vi hver for seg kan beregne arealet av.

  • Plan

    Et plan har uendelig utstrekning i to dimensjoner. Vi kan tenke på ei slett, uendelig tynn papirflate.

  • Plangeometri

    Studiet av geometriske figurer i planet. I den analytiske plangeometrien studeres plane figurer ved bruk av koordinatsystem og algebraiske metoder. Den omfatter som et viktig emne læren om kjeglesnitt.

  • Punkt

    I geometrien tegnes punkt som en prikk eller et kryss. Den knyttes til en fast posisjon og har ingen utstrekning. Et punkt har en stor bokstav som navn, for eksempel A, B.

  • Vinkel

    En vinkel er en del av planet som er begrenset av to stråler med samme startpunkt. Vinkler måles i grader.

  • Trekant

    En trekant er figur med tre hjørner (og tre sidekanter). 

  • Toppvinkler

    Toppvinkler

    Når to rette linjer skjærer hverandre, dannes to par like store vinkler. Et slikt par kalles toppvinkler