www.matematikk.org

Ikke-uniforme sannsynlighetsmodeller

Her får du se to eksempler på ikke-uniforme sannsynlighetsmodeller.

Eksempel 1


Tre venner, Kari, Lars og Mari, skal bli med mor på biltur. De vil avgjøre hvem som skal sitte foran i bilen ved å kaste to mynter, og er enige om at hvis det blir to kron, så skal Kari sitte foran, blir det to mynt, vinner Lars forseteplassen, og hvis det blir en kron og en mynt, er Mari den heldige. Men så begynner de å lure på om dette var en rettferdig måte å trekke ut vinneren. For å finne ut av dette gjennomfører de 100 kast med to mynter, og får følgende resultat – vi lar K stå for kron og M for mynt:

Begge viser K: 28
En K og en M:  48
Begge viser M: 24

Dette tyder jo ikke på at trekkemetoden er rettferdig. Det synes som om Mari har omtrent dobbelt så stor sjanse for å vinne som hver av de andre. Det må være opplagt at to K og to M i utgangspunktet burde være like sannsynlige ut fra en symmetritenkning. Resultatet av de hundre kastene kan derfor tyde på at sannsynlighetsfordelinga for trekkinga til Kari, Mari og Lars er: 14,12,14.

Det sentrale poenget her er at det utfallsrommet vi opererer med, som består av de tre mulighetene to K, en K og en M, to M, ikke er uniformt. Men vi kan omformulere problemet slik at vi får en uniform sannsynlighetsfordeling. Så la oss se på dette på nytt:

For mynt nr. 1 er det to muligheter, henholdsvis K og M.
For mynt nr. 2 er det også to muligheter, K og M.

Utfallene for de to myntene er uavhengige av hverandre. Dette gir oss fire sammensatte tilfeller, som vi kan illustrere i en tabell:

Mynt 2
M KM MM
K KK MK
  K M
Mynt 1


Det blir fire ordnede par av utfall. Siden utfallene for hver mynt er upåvirket av den andre i hvert enkelt kast, er disse ordnede parene hver like sannsynlige. Da har vi omformet problemet til en uniform sannsynlighet med fire utfall, og hvert av de fire utfallene (K, K), (K, M), (M, K) og (M, M) har sannsynlighet 14. Og det viser nettopp at i utvelgelsen av forseteplass hadde Mari en sannsynlighet på 14+14=12=50% for å erobre plassen.

Eksempel 2


I dette eksemplet kaster vi to vanlige spillterninger og er interessert i summen av antall øyne på de to terningene. Vi kan få alle summer fra 1+1=2 opp til 6+6=12. Men vi aner at ikke alle summene er like sannsynlige, og at de midt i, tenk på 6, 7 og 8, har større sjanse for å opptre enn de ekstreme verdiene, for eksempel 2 og 12. En statistisk undersøkelse, ved for eksempel å kaste to terninger hundre ganger, vil bekrefte det. De 11 mulige utfallene 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 representerer ikke en uniform sannsynlighet.

Vi vil omforme problemet, slik at vi har en uniform modell. Tenk på de to terningene som terning nummer 1 og nummer 2, eller gjerne en rød og en grønn terning. Et resultat kan skrives som for eksempel (1, 2), hvor tallet til venstre er resultatet fra den røde terningen, og tallet til høyre er resultatet fra den grønne terningen. En oversikt over hele utfallsrommet kan settes opp i en tabell.

 

Terning 2
6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
  1 2 3 4 5 6
Terning 1



De 36 rutene i tabellen representerer 36 utfall som hver har like stor sannsynlighet, nemlig 136. Vi har en uniform sannsynlighetsfordeling.

Hvis vi nå i tabellen skriver summer istedenfor tallpar, kan vi direkte ved opptelling se at for eksempel resultatet 7 som sum har en sannsynlighet på 636=16, og 7 er summen som har størst sannsynlighet.

 

Terning 2
6 7 8 9 10 11 12
5 6 7 8 9 10 11
4 5 6 7 8 9 10
3 4 5 6 7 8 9
2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7
  1 2 3 4 5 6
Terning 1

 

Publisert: 01.04.2008 Endret: 17.08.2012

Skrevet av

Knut Vedeld
Rolf Venheim

Institusjon

Universitetet i Agder
Universitetet i Oslo

Begrep

  • Hendelse

    En hendelse eller begivenhet er en delmengde av utfallsrommet. En hendelse består av ett eller flere utfall.

  • Sannsynlighet

    Sannsynligheten for noe forteller hvor sikkert eller usikkert det er at en ting skal hende.
    En sannsynlighet er minst 0 og maks 1.

    Sannsynlighet 0 betyr at en ting helt sikkert ikke skjer.
    Sannsynlighet 1 betyr at en ting helt sikkert skjer.

    Når du kaster mynt og kron, er sannsynligheten for å få mynt 0,5 og kron 0,5.

    Sannsynligheten for å få mynt eller kron er 1.

  • Sum

    I en addisjon, slik som
    2 + 5 + 1 = 8
    kalles resultatet 8 for addisjonens sum.

  • Uniform sannsynlighet

    Sannsylighetsfordelingen i utfallsrommet kalles for uniform hvis alle utfallene i utfallsrommet er like sannsynlige. Eksempel: Kaster vi en jevn mynt er det like stor sannsynlighet for å få mynt som kron.

  • Utfall

    Mulig resultat av en hendelse.

    Eksempel: Du kaster en terning og får seks øyne. Utfallet er seks.