www.matematikk.org

Andre kvadratsetning

I dette avsnittet skal vi se på det andre av tre spesielle produkter av bokstavuttrykk. Disse tre produktene er det nyttig å kunne bruke til forkorting av brøker, forenkling av uttrykk og i likningsløsning. Dette produktet heter den andre kvadratsetningen.

I andre kvadratsetning tar vi en differens a – b mellom to tall, og ganger dette med seg selv:

(ab)2=(ab)(ab)=a2+a(b)+(b)a+(b)(b)

Her er

a(b)=(b)a=ab

(b)(b)=b2

Dermed kan vi skrive uttrykket enklere:

(ab)2=a2abab+b2=a22ab+b2  

Vi har dermed dette resultatet:

(ab)2=a22ab+b2     

Talleksempler


La a = 4, b = 1. Dersom vi setter inn i (ab)2, får vi følgende:

(41)2=32=9
Setter vi videre inn i a22ab+b2, får vi:

42241+12=168+1=9
La oss også prøve a = -5, b= -3 . Vi setter inn i (ab)2, og får:
(ab)2=((5)(3))2=(5+3)2=(2)2=4 

Så setter vi de samme tallene inn i formelen a22ab+b2, og ser at resultatet blir det samme:

a22ab+b2=(5)22(5)(3)+(3)2=25215+9=4

 

Geometrisk illustrasjon og begrunnelse

 

Hvis a > b > 0, kan vi også tolke (ab)2 som arealet av et kvadrat. Ideen er nesten den samme som for første kvadratsetning. Vi skal finne arealet av et kvadrat med sidelengder ab . For å finne dette arealet uttrykt ved a-er og b-er starter vi med et kvadrat med sidekanter lik a. Studer tegningen:

 

Et kvadrat med sider lik a. Kvadratet er delt i fire firkanter. Firkanten øverst til venstre (lilla) har sider lik b og a-b. Firkanten øverst til høyre (rød) har sider lik b. Firkanten nederst til venstre (blå) har sider lik a - b. Firkanten nederst til høyre (lilla) har sider lik b og a-b.

Her er det altså hele det store kvadratet som har sider lik a.  Målet blir å finne arealet av det blå kvadratet på to måter.
Den ene er opplagt: Arealet av det blå kvadratet er (ab)2.
Nå ser vi også at arealet av det blå kvadratet er lik arealet av hele det store kvadratet minus arealene av de to fiolette rektanglene og minus arealet av det røde kvadratet øverst til høyre på figuren.
Arealet av hele kvadratet er a2. Hvert av de fiolette rektanglene har areal b(ab), og det røde kvadratet har areal b2. Da får vi at det blå kvadratet har areal lik

a22b(ab)b2=a22ab+2b2b2=a22ab+b2.

Vi oppsummerer: Areal av hele firkanten, minus to ganger arealet av lilla pluss rød firkant, pluss areal av rød firkant, gir areal av blå firkant:

Vi har dermed sett at arealet av den blå firkanten blir:

(ab)2=a22ab+b2
 

Publisert: 28.03.2008

Skrevet av

Knut Vedeld
Rolf Venheim

Institusjon

Universitetet i Agder
Universitetet i Oslo