www.matematikk.org

Tallsystemet vårt - og andre tallsystemer

Vårt tallsystem er et titallssystem. Det betyr at tallet ti danner en basis for systemet, vi grupperer i tiere. Tallsystemet vårt er også et posisjonssystem (eller plassverdisystem). Verdien til et enkelt siffer avhenger av den plassen sifferet har i forholdt til de øvrige sifrene i et tallsymbol. For eksempel betyr 5 akkurat fem enheter hvis sifferet står slik aleine. Men i det tresifrede tallsymbolet 153 betyr sifferet 5 ikke fem stykker, men femti.

I dette avsnittet skal vi se litt på andre tallsystemer. Det første bruker vi stadig: 60-tallssystemet.

60-tallssystemet



Det vanligste eksempelet på bruk av 60-tallssystemet er klokka. I en time er det 60 minutter, og ett minutt er 60 sekunder. Nettopp dette gjør at å regne med tid er en ekstra utfordring for mange elever i skolen.

Eksempel 1


Karl skulle ta toget fra Oslo til Trondheim. Toget gikk klokka 09.28, og brukte 6 timer og 43 minutter. Når ankom toget Trondheim? – Vi kan sette det opp slik:

 

9,28 + 6,43 = 16,11 skrevet rett under hverandre. Det er skrevet minnesiffer, to ett tall over 9 og 2 i tallet som står øverst, altså 9, 28

Opp til 60 minutter regner vi i titallsystemet. Vi får først 8+3=11, og flytter 1 tier over på ti-minuttene. Deretter legger vi sammen tierne i minuttsifrene. Vi får svaret 7, og da må vi huske at det bare er 60 minutter (6 ti-minutter) i en time, og flytte 1 time over på timeplassen. Vi sitter igjen med 1 på ti-minuttplassen. Vi legger sammen timene på vanlig måte, og finner at toget er i Trondheim klokka 16.11.

Eksempel 2 - avstand, tid og fart


Trond kjørte fra Oslo til Drammen. Det er en avstand på ca 45 km. Han brukte 31 minutter på turen. Hvor fort kjørte Trond? Hvor mange km/t?

En mulighet er å regne om antall timer til titallssystemet. 31 minutter = 3160 time 0.517 time. Fart er tilbakelagt strekning delt på tid, så Tronds gjennomsnittsfart er derfor 450,517km/t87km/t.
En annen mulighet er å gå via fart som km/min. Vi får 45311,45. Så multipliserer vi med 60 for å få fart i km/t: 1,4560=87.

 

Totallssystemet, eller det binære tallsystemet


Alle datamaskiner og alle andre elektroniske instrumenter bruker teknologi som hviler på totallsystemet, også kalt det binære tallsystemet. Binærtall er språket elektronikken kommuniserer med. En datamaskin, for eksempel, har en oversetter, vanligvis kalt et operativsystem, mellom mikroprosessoren og brukeren av maskinen, men maskinens ”hjerne” snakker i binærtall.

Vi skal bare se på hvordan vi kan telle med totallsystemet, og hvordan vi oversetter vanlige tall til binærtall og omvendt.

I vårt vanlige tallsystem har vi enerplass, tierplass, hundrerplass og så videre. I totallsystemet har vi isteden ener-, toer-, firer- og åtterplass og så videre. I titallsystemet baserer vi oss på at sifrene representerer potenser av 10. I totallsystemet har vi potenser av 2. I titallsystemet betyr 31 tre tiere pluss én:

31=310+11

Skriver vi med binærtall blir det i stedet:

31=16+8+4+2=124+123+122+12+1=11111to
De fem enersifrene representerer da henholdsvis 16, 8, 4, 2 og 1.

Eksempel 1


Tallet 10110to er gitt i binærtall. Hva blir tallet i titallssystemet?

Vi har 0 på enerplassen, 1 på toerplassen, 1 på firerplassen, 0 på åtterplassen og til slutt 1 på 16-plassen.

020+121+122+023+124=0+2+4+0+16=22  
10110 i totallssystemet er det samme som 22 i titallssystemet.

Eksempel 2


Tallet 41 er gitt i titallssystemet. Hva blir tallet i totallssystemet?

41=32+8+1=125+024+123+022+021+120
I totallssystemet kan vi derfor skrive 41 som:

101001to
 

Andre basiser – andre tallsystemer


Tilsvarende til totallsystemet kan det konstrueres tallsystemer med andre basiser, for eksempel 4 eller 5, eller for den saks med basis over 10, et eksempel som er i praktisk bruk er 16. Da måtte vi ha nye sifre for tallene fra ti til femten, og 10seksten ville bety 116 og 0 enere, altså tallet 16. Disse tallsystemene er posisjonssystemer, akkurat som vårt vanlige tallsystem, men de er ikke titallsystemer.

Motsatt kunne det også lages tallsystemer med ti som basis, uten at disse var posisjonssystemer. En slik konstruksjon kunne være at vi hadde ett symbol for én, for eksempel bokstaven e, ett symbol for ti, for eksempel en t, ett for hundre, gjerne h, og så videre. I dette titallsystemet vil vi for eksempel oppgi

•    antall dager i februar som tteeeeeeee eller eeeeeeeett
•    antall dager i et år som hhhtttttteeeee

I et slikt additivt system legger vi bare sammen enkeltsymbolenes verdi. Rekkefølgen betyr ingenting. Historisk kjenner vi slike tallsystemer for eksempel fra det gamle Egypt for mange tusen år siden.

Det fins også eksempler på kulturer som har (eller har hatt) tallsystemer som benytter en kombinasjon av disse grunnideene, og kanskje i tillegg involverer multiplikasjon. Det gjelder for eksempel det kinesiske.

Fundamentet for tallsystemet vårt


Til oppsummering:
Tallsystemet vårt har to helt avgjørende, uavhengige egenskaper:

•    Det er et posisjonssystem. Vi bruker ofte mer enn ett siffer som symbol for et tall, og da bestemmes verdien til det enkelte sifferet av plassen dette har i forhold til de andre sifrene.
•    Det er et titallsystem. For hver plass lenger et siffer står mot venstre er verdien ti ganger så høy som på forrige plass.

Publisert: 12.03.2008 Endret: 16.08.2012

Skrevet av

Knut Vedeld
Rolf Venheim

Institusjon

Universitetet i Agder
Universitetet i Oslo

Begrep

  • Fart

    Når det gjelder mål for fart benyttes ofte benevningen km/h eller m/s. Fart er nemlig tilbakelagt veilengde pr. tidsenhet. En er imidlertid ikke bundet til nevnte benevninger. Når legemer beveger seg veldig raskt, kan det for eksempel være hensiktsmessig å snakke om tilbakelagt veilengde i km pr. sek.

  • Plass-systemet

    Når vi skriver et tall, har sifrene i tallet forskjellig betydning. Det er plassen til sifferet som bestemmer om det skal vise enere, tiere, hundrere osv.

  • Siffer

    Symbolene (skrifttegnene) som vi bruker i vårt posisjonssystem for å beskrive ulike tall:
    0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

  • Vei, fart og tid

    Sammenhengen er v =s/t , der vei = s, fart = v og tid = t .