www.matematikk.org

Mengdelære

En mengde i matematisk sammenheng kan bestå av hvilke objekter som helst som vi ønsker oss. De enkelte objektene i en mengde kalles elementer. Vi kommer bare til å ta for oss mengder hvor elementene er tall.

Mengden av tallene på en vanlig, sekssidet spilleterning består av elementene 1, 2, 3, 4, 5 og 6. Med mer presist språk, mer formelt, skriver vi denne mengden som

    {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Klammeparentesene betyr at innholdet i dem skal leses som en mengde, og vi kaller disse parentesene brukt på den måten for mengdeklammer. Vi leser det som ”mengden av”, etterfulgt av hva som står inni parentesene. Mengdene får gjerne navn i form av et symbol, for eksempel en stor bokstav. Vi kunne for eksempel kalt mengden vår for T:

    T = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Med ord ville vi lest dette som: T er mengden som består av tallene 1, 2, 3, 4, 5 og 6.

Mengder kan være ubegrenset store, det vil si bestå av et uendelig antall elementer. Det gjelder for de viktigste tallmengdene, som vi snart skal ta for oss litt mer systematisk.

 
Det fins symboler som angir at et element tilhører eller ikke tilhører en mengde. Tallet 2, for eksempel, er med i mengden T = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Med symbolspråk kan vi skrive det som:

2T.

Vi leser det slik: 2 er element i mengden T.

Tallet 7, for eksempel, er ikke element i T. Med symbolspråk:

7T.

Dette blir sagt slik med vanlige ord: 7 er ikke element i mengden T.

Det fins ganske mange begreper med tilhørende symboler innen mengdelære. Vi tar her med tegnet for union av mengder. Vi kan som eksempel kalle mengden som angir alle partallene på en sekssidet terning for P.

    P = {2, 4, 6}.

Mengden av oddetallene på en sekssidet terning kan vi kalle O.

    O = {1, 3, 5}.

Mengden av alle tallene på en sekssidet terning består av alle partallene og alle oddetallene. En slik sammenslutning av to mengder kalles unionen av mengdene, og en union skrives på denne måten:

    T=PO={2,4,6}{1,3,5}={1,2,3,4,5,6}.


Unionen av to mengder er en ny mengde som har med alle elementene som forekommer i en eller begge av de to mengdene vi finner unionen av.

Eksempel


Vi skal danne unionen av mengdene {1, 2, 3, 4, 5} og {3, 4, 5, 6, 7, 8}

Vi finner alle elementene som forekommer i en eller begge av de to mengdene:

    {1,2,3,4,5}{3,4,5,6,7,8}={1,2,3,4,5,6,7,8}.

Legg merke til at vi ikke skriver opp elementene 3, 4 og 5 to ganger, selv om de forekommer i begge mengdene. Tegnene 3, 4 og 5 er kun symboler for eller navn på de tre begrepene: tallet 3, tallet 4 og tallet 5, og vi teller ikke "antall ganger" et begrep er i en mengde, det er enten med eller ikke.

Publisert: 12.03.2008 Endret: 20.02.2019

Skrevet av

Knut Vedeld
Rolf Venheim

Institusjon

Universitetet i Agder
Universitetet i Oslo

Begrep

  • Endelige mengder

    En mengde som har et endelig antall elementer. Det må i prinippet være mulig å telle antall elementer i mengden. Mengden av barn i en klasse eller mengden av alle sandkorn på jorda er endelige mengder. Mengden av naturlige tall er derimot ikke endelig.

  • Mengdeteori

    Teorien om mengder er et grunnleggende felt innen matematikk og logikk. En bestemt samling objekter kalles en mengde dersom en kan avgjøre om et gitt objekt tilhører menden eller ikke. Mengdeteorien studerer hvordan mengder kan brukes til å bygge opp formelle strukturer i matematikk og logikk.

  • Oddetall

    Tallene 1, 3, 5, 7, 9 og 11 er eksempler på oddetall
    Oddetall er heltall hvor svaret ikke blir et heltall når de deles med 2.

    Alle oddetall kan skrives på formen 2n+1, der n er et helt tall.

    Et heltall som ikke er oddetall er partall.

  • Partall

    Tallene 2, 4, 6, 8 og 10 er eksempler på partall.
    Partall er heltall som delt med 2 gir et heltall som svar.

    Alle partall kan skrives på formen 2n, der n er et helt tall.

    Et heltall som ikke er partall er et oddetall.

  • Tall

    Begrep som i sin enkleste definisjon betyr antall og som skrives med siffer. Et litt mer utvidet tallbegrep omfatter også negative tall og brøker.

  • Terning

    En terning er en tredimensjonal figur. Terningen har alle sideflater formet som identiske kvadrater.

    Se også kube.

  • Uendelige mengder

    Uendelig mengde inneholder et uendelig antall elementer. Primtallene danner en uendelig mengde. En mengde sies å være uendelig hvis det finnes en én-entydig avbildning mellom hele mengden og en ekte delmengde av den.