www.matematikk.org

Å løse likningssett med matriser

Matriser er et kraftfullt matematisk verktøy for å løse likningssett. La oss se hvordan vi gjør det.

Vi skal illustrere hvordan vi bruker matriser for å løse likninger ved følgende eksempel:

Ix+2y+3z=6IIy+2z=2IIIx+6y+2z=5

Matriser

Når vi har tre ukjente (eller flere) kan det fort bli rotete og vanskelig å holde styr på alle likningene. Matriser er et system som gjør det mulig å sette opp likningssett på en ryddig måte. Under får du en kort introduksjon. Du finner mer om matriser i høyrespalten i artikkelen "Kort om matriser og determinanter".

Vi tar utgangspunkt i eksemplet over og setter opp likningssettene som en matriselikning:

x+2y+3z0+y+2zx6y+2z=625

I en matrise snakker vi om rader og kolonner, slik det er illustrert her:

Legg merke til at vi har organisert likningene slik at hver ukjent har egen kolonne og hver likning har egen rad.

OBS! I denne artikkelen gjør vi en forenkling. Vanligvis vil vi ikke skrive x, y og z i matrisen, vi skriver:

123012162xyz=625.

Merke at tallene i matrisen er koeffisientene til x, y og z.

Radoperasjoner

På en matrise kan vi gjøre en rekke operasjoner uten at det endrer løsningen(e) på likningssettet. Disse kaller vi gjerne radoperasjoner.

radoperasjoner i en matrise

1. Legge en rad til en annen rad eller trekke en rad fra en annen.

3. Multiplisere en rad med en konstant.

4. Dividere en rad med en konstant.

5. Bytte plass på to rader.

Eksempel 1

Tidligere har vi lagt sammen likningene på ulike måter når vi har brukt addisjonsmetoden. Nå gjør vi det samme ved å trekke en rad fra en annen eller legge en rad til en annen.

Trykker du på pilen under, vil du se hvordan vi løser likningssettet ved hjelp av addisjonsmetoden. Legg merke til at operasjonene vi gjør ved addisjonsmetoden korresponderer til radoperasjonene vi gjør under.

Løsning av likningssettet ved addisjonsmetoden

Vi eliminerer x ved å trekke likning I fra likning III:

IIIx+6y+2z=5III-Ix+6y+2z-x+2y+3z=5-6III*4y-z=-1

Sammen med II har vi nå et likningssett med to ukjente:

IIy+2z=2III*4y-z=-1

Vi multipliserer likning II med 4 og trekker fra likning III*:

4II4y+8z=8III*4y-z=-14II-III*-9z=-9

Dette gir oss z=1. Dette setter vi inn i III*, og finner y=0. Disse løsningene er unike.

Tilslutt setter vi y=0 og z=1 inn i for eksempel likning I:

Ix+2+3z=6x+20+31=6x=3

Løsning: x=3, y=0 og z=1.

 Vi løser likningssettet ved hjelp av radoperasjoner:

  x+2y+3z0+y+2zx+6y+2z=625  
III-I: x+2y+3z0+y+2zx-x+6y-2y+2z-3x=625-6  Trekker rad I fra rad III,
  x+2y+3z0+y+2z0+4y-z=62-1  
III-4II: x+2y+3z0+y+2z0+4y-4y-z-42z=62-1-42  trekker 4II fra rad III,
  x+2y+3z0+y+2z00-9z=62-9  
1-9III: x+2y+3z0+y+2z00-9y-9=62-9-9 dividerer rad III-9 ,
  x+2y+3z0+y+2z00y=621  

Nå står vi igjen med tre likninger. Rad III forteller oss at z=1. Ved å sette inn for z i rad II får vi y=0. Ved å sette inn for både z og y i rad I finner vi at x=3. Løsning: x=3, y=0 og z=1.

Eksempel 2

Vi ser på et likningssett med to ukjente:

Ix-2y=2II-x-y=0

Vi setter det opp som en matrise:

 x-2y-x-y=20

Nå kan vi bruke radoperasjoner for å løse likningssettet. Vi legger rad I til rad II for å eliminere x i den andre raden. 

II+I:        x-2y-x+x-y-2y=20+2

Vi får

x-2y0-3y=22

Nå kan vi dividere rad II med -3 for å få y alene i den nederste raden.

-13II:         x-2y0-13-3y=2-132

Fra rad II får vi y=-23 og kan sette inn i rad I og få x=2+2y=2+2-23=23.

Løsning: x=23 og y=-23.

 

Publisert: 29.07.2015 Endret: 06.08.2015