Hopp til hovedinnholdet
www.matematikk.org

Mer om uendelige rekker

Nå skal vi gå litt utenfor pensum for videregående skole og se på uendelige rekker som ikke er geometriske. Vi skal se på kriteriene for at disse konvergerer.

Vi vet at for hver uendelig rekke

n=0an

følger de to uendelige tallfølgene a0,a1,a2,... og s0,s1,s2,...

Merk at det gir mening å spørre om en uendelig tallfølge er konvergent. Vi har allerede sett dette; om en uendelig rekke konvergerer til s, så konvergerer også tallfølgen av partiellsummer til s. (Om du velger å studere matematikk videre er dette gjerne den beste måten å forstå uendelige rekker på. Se gjerne også artikkelen om konvergente følger.)

Hva kan vi si om tallfølgen av ledd a0,a1,a2,... om den assosierte rekken er konvergent? Fra et intuitivt perspektiv ønsker vi at tallfølgen etterhvert skal ha små verdier, slik at summen av alle leddene ikke rømmer til uendelig. Dette viser seg å stemme.

TEOREM

Om en uendelige rekke n=0an konvergerer, så konvergerer tallfølgen a0,a1,a2,... til 0.

Altså

n=0an konvergerer limnan=0.

Beviset nedenfor bruker en del konsepter elevene på videregående skole ikke har lært, og det er strengt tatt ikke nødvendig å introdusere disse konseptene: kun siste setning i beviset nedenfor er nok. Men prøv deg gjerne og se hvordan det går. Om du ønsker å lære deg detaljene, se artikkelen om konvergente følger. 

Bevis

Det å si at rekken konvergerer til en sum s er ekvivalent med å si at tallfølgen av partiellsummer sn konvergerer til s. La ε>0 (symbolet kalles "epsilon"), være et vilkårlig positivt, reelt tall. Når n går mot uendelig vet vi at tallfølgen sn kommer uendelig nær s. En annen måte å si dette på er følgende: for en tilstrekkelig stor N er avstanden mellom sn og s mindre enn ε for alle nN,

sn-s<ε hvis nN.

Vi husker at sn=a0+a1+a2+...+an, og kan dermed skrive om ulikheten til

a0+a1+...+an-s<ε.

Da dette holder for alle nN, har vi i tillegg

a0+a1+...+an+1-s<ε.

Vi merker at

an+1=sn+1-sn.

Da begge disse er nær s er differansen nær 0, og vi er ferdige:

limnan+1=limnsn+1-sn=s-s=0.

Merk at implikasjonen i teoremet ikke holder den andre veien.

Eksempel 1

Mens limn1n=0, har vi at n=11n divergerer. Det kan vi se ved hjelp av følgende teorem (integraltesten).

TEOREM

Anta at fx er en monotont synkende funksjon, det vil si for a>b så er fafb. Funksjonen er definert på intervallet N, for et heltall N.Da konvergerer den uendelige rekken

n=Nfn

hvis og bare hvis

Nfxdx

har en endelig verdi. Altså

n=Nfn konvergerer Nfxdx er endelig.

Merknad: Merk først at vi starter rekken fra en N hvor funksjonen er definert. Om vi antar at funksjonen er definert på 1, gjør ikke dette store forskjellen, da

n=Nfn=n=1N-1fn+n=Nfn.

Da den første summen på høyresiden er endelig konkluderer vi med at venstresiden konvergerer hvis og bare hvis siste ledd på høyresiden konvergerer.

Bevis

 La n>N. Da fx er monotont synkende, vet vi at

(2) fnfx for xN,n, da fn er den minste verdien funksjonen fx kan ha i dette intervallet. Vi integrerer begge sider i den første ulikheten:

(3)nn+1fxdxnn+1fndx=fn

da er fn simpelthen en konstant, så det siste integralet er fnxnn+1=fn. Ved å bruke det samme trikset kan vi skrive fn som et integral i intervallet N,n

fn=n-1nfndx

og vi vet fra 2 at n-1nfndxn-1nfxdx

og dermed konkludere med at

(4) fnn-1nfxdx. 

Vi husker at for a<b<c har vi at

acfxdx=abfxdx+bcfxdx.

Dermed kan vi summere på følgende måte: hvis K>N

nK+1fxdx=n=NKnn+1fxdx.

Fra (3) vet vi at hvert ledd i summen er mindre enn eller lik fn, og vi kan konkludere med at 

NK+1fxdxn=NKfn.

På den andre siden vet vi fra (4) at

n=NKfnfN+n=N+1Kn-1nfxdx

da hvert integral i summen er større enn eller lik fn, og siden

n=N+1Kn-1Kfxdx=NKfxdx

har vi ulikhetene

NK+1fxdxn=NKfnfN+NKfxdx.

Ved å la K gå mot uendelig ser vi at integralet er endelig hvis og bare hvis rekken konvergerer.

Eksempel 2

Den uendelige rekken n=0-1n divergerer, da grensen limn-1n divergerer.

Eksempel 3

Den uendelige rekken n=11n divergerer, til tross for at limn1n=0. For å se dette anvender vi integraltesten; vi vet at funksjonen fx=1x er synkende på intervallet 1,. Dermed konvergerer rekken hvis og bare hvis 11xdx er endelig. Men vi vet at integralet 1K1xdx=lnK-ln1=lnK. Ved å la K gå mot uendelig ser vi at rekken divergerer.

 

Del på Facebook

Del på Facebook

Hopp over bunnteksten