Hopp til hovedinnholdet
www.matematikk.org

Geometriske rekker

Hva er en geometrisk rekke?

MatRIC: Geometrisk rekke


Rettighetshaver: MatRIC ved Universitetet i Agder / MatRIC
 

DEFINISJON

En geometrisk rekke er en rekke på formen a1+a2+a3+... hvor tallfølgen a1,a2,... er en geometrisk tallfølge.

Eksempel 1

1+3+9+27+... er en geometrisk rekke, fordi tallfølgen 1,3,9,27,... er geometrisk med kvotient k=3. La oss finne s8 til denne geometriske rekken.

I en geometrisk tallfølge er leddene på formen an=kn-1a1 og derfor er

s8=1+31+...+371.

Om vi multipliserer med kvotienten 3 får vi

3s8=3+321+...+371.

Rekkene ovenfor er svært like. Vi trekker den første fra den andre og får at

3s8-s8=2s8=381-1

og divisjon med 2 gir

s8=38-12=3280. 

Teorem:

Gitt en geometrisk rekke a1+ka1+k2a1+..., så er sn gitt ved sn=a1kn-1k-1 med mindre k=1, da er formelen gitt ved sn=na1.

Bevis

Merk at tilfellet k=1 tvinger alle leddene til å være like, noe som gir det ønskede resultatet. I tilfellet k1, har vi følgende:

sn=a1+ka1+k2a1+k3a1+...+kn-1a1

kan vi multiplisere med k for å få

ksn=ka1+k2an+...+kna1.

Subtraksjon gir

snk-1=kna1-a1

og divisjon med k-1 gir det ønskede resultatet.

 

Eksempel 2

En geometrisk tallfølge er gitt ved a3=5 og k=π. Finn formler for an og sn.

Vi anvender formelen for en geometrisk tallfølge og får at a3=5=π2a1. Vi løser for a1 og får at a1=5π-2. Dermed er

an=kn-1a1=πn-15π-2=5πn-3.


Vi er ikke avhengig av formelen for an for å finne sn, dette er simpelthen

sn=a1kn-1k-1=5π-2πn-1π-1.

 
Eksempel 3

Syttenårlingen Arne har fått 1500 kroner i bursdagspenger, og sparer til førerkort som koster 20000 kroner. Han får 100 kroner i ukelønn, men ukelønnen hans øker med en faktor på 1,05 for hver uke han hjelper til hjemme.

Hvis Arne for eksempel velger å vaske kun den første uken, så er ukelønnen 100 kroner den første uken, og 105 kroner resten av året. Arne vil ha førerkortet på attenårsdagen, men vil nødig gjøre mer arbeid enn nødvendig. Hvor mange ganger må han gjøre husarbeid for å ha råd til førerkortet?

Da Arne allerede har 1500 kroner, trenger han å spare 18500 kroner. Om han velger å ikke gjøre husarbeid i det hele tatt får han kun 52⋅100=5200 kroner. Merk at den beste taktikken her er å gjøre husarbeid så tidlig som mulig, fordi det gir flest uker med mer i ukelønn. Om Arne gjør husarbeid de n første ukene blir den totale lønnen L i løpet av året

L=100+1,05100+1,052100+...+1,05n100+52-n-11,05n100


Sjekk at formelen ovenfor gir mening: for hver uke han gjør husarbeid øker lønnen hans med en faktor på 1,05. Han gjør dette i n52 uker, slik at han i uke n+1 får 1,05n100 kroner. Denne lønnen holder han på i resten av ukene, og det er 52-n+1 uker igjen av året. Vi merker at rekken vår er en sum av to geometriske rekker, en med kvotient k=1,05 og n+1 ledd, og en med kvotient k=1 og  52-n+1 ledd. La oss kalle disse sn+1 og S52-n+1. Vi vet at

sn+1=1001,05n+1-11,05-1

og at

S52-n+1=52-n+11001,05n

Vi må løse

sn+1+S52-n+1=18500


Vi kan løse likningen for eksempel i GeoGebra, hvor vi finner at eneste positive løsningen under 52 er n31. Dermed må Arne spare i minst 31 uker for at han skal få råd til førerkort.

Del på Facebook

Del på Facebook

Hopp over bunnteksten