www.matematikk.org

Fortegnslinja 1

Fortegnslinjer bruker vi for å finne ut når et funksjonsutrykk er positivt og negativt. Vi bruker dem gjerne i funksjonsdrøfting til å se hvordan funksjonen, den deriverte og den dobbeltderiverte oppfører seg.

La fx være en funksjon. Med fortegnslinja til fx mener vi en linje der vi markerer hvilke x-verdier som gir positiv, negativ eller null fx.

Vi har en funksjon

fx=lnx.

Grafen ser slik ut:

Ut fra grafen ser vi at fx er negativ for x mellom 0 og 1, positiv for x større enn 1, og har x=1 som eneste nullpunkt. Når x er mindre enn eller lik 0, er lnx ikke definert.

I fortegnslinja markerer vi som følger

  der lnx er negativ

  der lnx er positiv

  der lnx er null

  ved x=0 for å markere at lnx er definert ned til, men ikke i 0.

Slik blir den seende ut: 

 

Når vi senere skal tegne fortegnslinja til mer kompliserte funksjoner, kan det være greit å systematisere litt. I boksen under gjennomgår vi punkt for punkt hvordan man kan tegne fortegnslinja til en generell funksjon f.

Hvordan tegner du fortegnslinja til en generell funksjon fx for xa,b?

1. Finn alle løsningene (i det aktuelle intervallet) til likningen fx=0, altså 

Nullpunkt

Punkt der grafen krysser eller tangerer x-aksen. Kan finnes ved regning ved å sette f(x)= 0.

nullpunktene
til funksjonen.

2. Tegn inn en tall-linje, og marker følgende punkter på den: 

  • Nullpunktene til fx (disse fant du i punkt 1).
  • Punktene der fx ikke er definert, altså de 

    Kritisk punkt

    De kritiske punktene til en funksjon f(x) for xa,b er

    1. Punkter der f'(x)=0.

    2. Punkter der f'(x) ikke er definert.

    3. Endepunktene til intervallet, a og b.

    kritiske punktene
    til funksjonen.
  • Eventuelle bruddpunkter på funksjoner.
  • Endepunktene –  hvis det er noen – til intervallet a,b.

3. Finn ut hvilket fortegn fx har mellom punktene du har markert. Regn ut funksjonsverdien fx for en x-verdi i intervallet, og se hvilket fortegn den har.

4. Tegn fortegnslinja til fx rett under tall-linja ved å bruke disse symbolene: 

  • ______ der fx>0,
  • - - - - -  der fx<0,
  •    o    der fx=0,
  • > og < for å vise at funksjonen er positiv/negativ helt til, men ikke inkludert, et punkt.

 

 
Publisert: 05.08.2013 Endret: 11.09.2014