Tallet e

Tallet som i dag kalles e opptrer for første gang i et brev skrevet i 1690 av Leibniz, men da med notasjonen b. Det var i et annet brev, denne gang skrevet av Euler i 1731, at notasjonen e ble brukt for første gang for tallet som er tilnærmet lik 2,71828. Noen mener at e står for "eksponentiell", siden tallet e er det naturlige valget til grunntall i en eksponentialfunksjon, mens andre mener at Euler brukte e siden det er den andre vokalen i alfabetet og siden han allerede brukte a i noen av sine andre matematiske arbeider.

Akkurat som tallet π, som er tilnærmet 3,14159, er også tallet e et irrasjonalt tall, men å regne ut desimaler for e har aldri blitt like populært som å regne ut desimaler for π. Vi ser også av årstallene vi har nevnt at e var en nykommer i forhold til π. Men selv om tallet e ikke hadde noen notasjon før mot slutten av 1600-tallet, opptrådte det allikevel i matematiske arbeider på hele 1600-tallet uten å bli identifisert. Da tallet ble identifisert, ble disse arbeidene viktige i forståelsen av tallet. Til disse arbeidene hører Napiers arbeider om logaritmer (1618), Huygens’ arbeider med rektangulære hyperbler, eksponentialkurven og logaritmer (1661) og ikke minst Bernoullis arbeid med grensen av uttrykket når n går mot uendelig (1683).

I prosessen med å forstå tallet e skjønte man raskt at dette var nært knyttet til logaritmer. I de første arbeidene innen logaritmeteori var logaritmer tall som gjorde regningen lettere. I dag tenker vi på logaritmen med grunntall a av det positive tallet b som det tallet vi må opphøye a i for å få b, skrevet . Dessuten tenker vi på logaritmer som funksjoner med tilhørende eksponentialfunskjoner der disse er inverse funksjoner. Og vi vet at e er grunntallet i den naturlige logaritmen, dvs. . Erstatter vi b med en bokstav lengre ut i alfabetet, får vi funksjonene , x > 0.

Det som gjør at e er grunntallet i den naturlige logaritmen er følgende egenskap:

Hvis vi tegner funksjonen , får vi en rektangulær hyperbel. Ordet rektangulær kommer av at når x og y er positive, er de lengdene på sidene i et rektangel med areal 1. Tallet e er nå tallet slik at arealet under den rektangulære hyperbelen fra 1 til e er 1:

Skrevet med dagens integrasjonsnotasjon:

Vi nevner til slutt noen flere egenskaper ved e:

Egenskap 1) 

Egenskap 2) 

Begge disse ble funnet av Euler. Egenskap 2) sier at e kan uttrykkes ved en uendelig rekke. Denne kan blant annet brukes til å regne ut desimaler for e og til å vise at tallet e er irrasjonalt. En tredje egenskap gjelder eksponentialfunksjoner a^x: Hva må grunntallet a være for at hastigheten funksjonen vokser med i hvert punkt er lik funksjonsverdien i punktet? Jo, grunntallet må være e:

Det fins mange formler som involverer e, og i artikkelen om tallet i finner du en formel som knytter sammen tallene π og e! Men for eksempel differansen π - e, som er ca. 0,42331 har ikke vært utforsket i særlig grad… Er dette et tall som dukker opp i noen interessante sammenhenger?